Mathématiques Avancées

Crédits : 3 ECTS

Responsable : Frédéric CHAMBAT

Ce cours vise à approfondir les concepts mathématiques développés au premier semestre afin de pouvoir aborder ensuite la mécanique des fluides, l’élasticité, le géomagnétisme, la sismologie etc.

Une divergence, c'est un flux sortant.

Contenu :

  • Les fonctions de plusieurs variables II, l’intégration, 4 h : Dérivation d’une intégrale simple. Dérivation sous le signe intégral. Cas mixte. Intégrales doubles ou triples. Théorème de Fubini. Changement de variables.
  • Les opérateurs de dérivation II – 8 h : Le gradient, la divergence, le rotationnel, le Laplacien : définitions intégrales et lien avec les définitions locales. Le produit vectoriel, le tenseur alterné. La circulation. Le laplacien vectoriel. Le gradient d’un vecteur. La notation indicielle. Utilisation en coordonnées cylindrique et sphérique. Conditions pour grad, div, rot nuls. Théorème de décomposition de Helmholtz-Hodge
  • Équations fondamentales de la physique et quelques solutions 5 h : Les ondes. La diffusion. Equation de Poisson, de Laplace.
  • Les harmoniques sphériques 4 h : Solutions de l’équation de Laplace. Base des fonctions définies sur la sphère
  • Introduction aux tenseurs 4 h : Définitions. Propriétés. Calcul indiciel. Dérivée d’un champ de tenseurs. Ex : le tenseur des contraintes, le tenseur des coefficients élastiques (propriétés et manipulations mathématiques; la physique sera faite dans le cours d’élasticité)
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